Решите: корень из (x² - 6x + 1) равен 5 минус 2x.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем условия существования решения. Правая часть должна быть неотрицательной: $5-2x\ge0$, то есть $x\le\tfrac52$; подкоренное выражение также неотрицательно: $x^2-6x+1\ge0$, то есть $x\le 3-2\sqrt2$ или $x\ge 3+2\sqrt2$. Оба условия обязательны, поэтому возможные значения $x$ должны удовлетворять $x \le 3-2\sqrt2 \approx 0{,}1716$.

2. 2

   Возведём обе части в квадрат. $x^2-6x+1 = (5-2x)^2 = 25-20x+4x^2.$

3. 3

   Приведём уравнение к стандартному виду. Переносим всё в одну часть: $0 = 25-20x+4x^2-x^2+6x-1 = 3x^2-14x+24.$

4. 4

   Вычислим дискриминант. $\Delta = (-14)^2-4(3)(24) = 196-288 = -92 < 0.$ Отрицательный дискриминант означает, что квадратное уравнение не имеет действительных корней.

5. 5

   Делаем вывод. Так как даже уравнение после возведения в квадрат не имеет действительных решений, исходное радикальное уравнение также не имеет действительных решений. Проверять условия области допустимых значений не требуется.

6. 6

   Проверим на конкретном значении. При $x=0$ (это значение удовлетворяет обоим условиям) левая часть равна $\sqrt{1}=1$, правая — $5$; при уменьшении $x$ правая часть растёт быстрее, чем корень, поэтому графики не пересекаются.