Решите однородную систему x + 2y - 2z = 0, 2x - y + z = 0, 3x + y - z = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что тривиальное решение всегда существует. Правая часть каждого уравнения равна $0$, поэтому $(0,0,0)$ автоматически является решением системы. Интерес представляет вопрос о существовании других решений — это возможно только тогда, когда три уравнения линейно зависимы.

2. 2

   Сложим второе и третье уравнения, чтобы сразу исключить две переменные. $-y$ и $+y$ взаимно уничтожаются, как и $+z$ и $-z$:

   $(2x-y+z)+(3x+y-z)=5x=0\;\Longrightarrow\;x=0.$

   Такое удачное сложение стоит заметить: две переменные исчезают сразу, потому что во втором и третьем уравнениях коэффициенты при $y$ и $z$ противоположны по знаку.

3. 3

   Подставим $x=0$ в оставшиеся уравнения. Второе уравнение примет вид $-y+z=0$, откуда $z=y$. Первое уравнение даст $2y-2z=0$, то есть снова $y=z$ — то же самое условие, а не новое. Такое повторение — характерный признак линейно зависимой системы: три уравнения накладывают только два независимых ограничения.

4. 4

   Параметризуем множество решений. При $x=0$ и $y=z$, свободно изменяющихся вместе, положим $y=z=t$:

   $(x,y,z)=(0,t,t),\qquad t\in\mathbb{R}.$

   Геометрически все три плоскости содержат прямую, порождённую вектором $(0,1,1)$, поэтому они пересекаются по прямой, а не в одной точке.

5. 5

   Проверим определитель и подстановкой. Разложим по первой строке:

   $\begin{vmatrix}1&2&-2\\2&-1&1\\3&1&-1\end{vmatrix}=1(1-1)-2(-2-3)-2(2+3)=0+10-10=0,$

   что подтверждает существование нетривиального решения. Проверим $(0,1,1)$: $0+2-2=0$ ✓, $0-1+1=0$ ✓, $0+1-1=0$ ✓.