Разложить или найти корни x³ – 5x² – 7x + 41.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим наличие рациональных корней. По теореме о рациональных корнях, при старшем коэффициенте $1$ возможные рациональные корни должны делить свободный член $41$ — а $41$ — простое число, значит, кандидаты только $\pm1$ и $\pm41$:

   $f(1)=1-5-7+41=30,\qquad f(-1)=-1-5+7+41=42$

   Значения $f(\pm 41)$ определяются слагаемым $41^3$ и далеки от нуля. Следовательно, рациональных корней нет, и многочлен не разлагается над $\mathbb{Q}$.

2. 2

   Продолжим — исследуем знаки функции. Иррациональные корни могут существовать, а у кубического многочлена всегда есть хотя бы один вещественный корень. Посчитаем значения $f$:

   $f(-3)=-10,\quad f(0)=41,\quad f(3)=2,\quad f(4)=-3,\quad f(5)=6$

   Видно три смены знака: на $(-3,0)$, на $(3,4)$ и на $(4,5)$. Значит, у данного кубического уравнения три различных вещественных корня, а не один — часто встречающееся утверждение о единственном вещественном корне около $-2{,}721$ ошибочно, ведь $f(-2{,}721)=2{,}88$.

3. 3

   Подтвердим наличие трёх корней через производную. $f'(x)=3x^2-10x-7$ имеет корни $x=\frac{10\pm\sqrt{184}}{6}$, то есть максимум примерно при $x=-0{,}60$ и минимум примерно при $x=3{,}93$. Так как $f(-0{,}60)\approx 43{,}2>0$, а $f(3{,}93)\approx -3{,}1<0$, график функции сначала выше оси, затем ниже, затем снова выше — именно такая конфигурация даёт три пересечения с осью Ox.

4. 4

   Уточним положение каждого корня методом бисекции. Сужая интервалы до машинной точности, получаем:

   $x_1=-2.7875545,\qquad x_2=3.2205249,\qquad x_3=4.5670296$

5. 5

   Проверим корни по формулам Виета. Для $x^3-5x^2-7x+41$ корни должны удовлетворять $\sum x_i=5$, $\sum_{i<j}x_ix_j=-7$ и $x_1x_2x_3=-41$. Подставляя найденные значения, получаем $5.000$, $-7.000$ и $-41.000$ ✓ — значит, все три корня найдены и ни один не пропущен.

6. 6

   Сформулируем вывод. Многочлен неприводим над рациональными, но над вещественными разлагается так:

   $f(x)\approx (x+2.7875545)(x-3.2205249)(x-4.5670296)$