Упростите выражение (x + 2y)² − (x − 2y)².

Step-by-step solution

1. 1

   Распознаем разность квадратов. Два полных квадрата, разделённых минусом, всегда раскладываются как

   $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$

   С двумя переменными это гораздо безопаснее раскрытия скобок, где слагаемые $x^2$ и $4y^2$ дают немало возможностей потерять знак.

2. 2

   Обозначим основания.

   $A = x + 2y, \qquad B = x - 2y$

   Основания различаются только знаком при $2y$, поэтому один из множителей ниже будет содержать только $y$, а другой — только $x$.

3. 3

   Вычислим A − B.

   $(x + 2y) - (x - 2y) = x + 2y - x + 2y = 4y$

   Вычитание $-2y$ превращается в $+2y$, то есть слагаемое с $y$ удваивается, а не исчезает.

4. 4

   Вычислим A + B и перемножим множители.

   $(x + 2y) + (x - 2y) = 2x$

   $(x+2y)^2 - (x-2y)^2 = 4y \cdot 2x = 8xy$

5. 5

   Проверим раскрытием скобок и подстановкой чисел. Раскрывая напрямую:

   $(x^2 + 4xy + 4y^2) - (x^2 - 4xy + 4y^2) = 8xy$

   Уцелевают только удвоенные произведения. При $x = 3$, $y = 2$: $(3+4)^2 - (3-4)^2 = 49 - 1 = 48$ и $8 \cdot 3 \cdot 2 = 48$.