Решите уравнение (x² + 4x − 12) · √(x + 5) = 0 и укажите сумму его корней.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала находим область определения, а не в конце. Квадратный корень определён только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, поэтому ещё до всяких преобразований:

   $x+5\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge -5$

   Именно этот первый шаг не даёт постороннему корню незаметно попасть в итоговую сумму.

2. 2

   Пользуемся условием равенства произведения нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен один из множителей, поэтому решаем отдельно $x^2+4x-12=0$ и $\sqrt{x+5}=0$. Про вторую ветвь часто забывают: равенство радикала нулю не выглядит как уравнение, которое надо решать.

3. 3

   Решаем квадратный множитель.

   $x^2+4x-12=(x+6)(x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-6 \ \text{ или } \ x=2$

   Но $x=-6$ не удовлетворяет условию $x\ge-5$, поэтому этот корень отбрасываем. Остаётся только $x=2$.

4. 4

   Решаем множитель с радикалом.

   $\sqrt{x+5}=0 \quad\Longrightarrow\quad x+5=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-5$

   Это значение лежит ровно на границе области определения, поэтому оно законно: при $x=-5$ радикал определён и равен $0$.

5. 5

   Собираем корни и складываем их. Множество решений — $\{-5,\ 2\}$, значит

   $-5+2=-3$

6. 6

   Проверяем оба корня подстановкой в исходное уравнение. При $x=2$: $(4+8-12)\sqrt{7}=0\cdot\sqrt7=0$. При $x=-5$: $(25-20-12)\sqrt{0}=(-7)(0)=0$. Оба дают $0$, а $x=-6$ проверить вообще нельзя, так как $\sqrt{-1}$ не определён на множестве действительных чисел.