Решите уравнение |(2x − 3)/7| = (1/2)·|(x + 3)/4|.

Step-by-step solution

1. 1

   Вынесите положительные константы из-под модуля. Так как $|A/c| = |A|/c$ при $c > 0$,

   $\frac{|2x-3|}{7} = \frac12\cdot\frac{|x+3|}{4} = \frac{|x+3|}{8}$

   Знаменатели $7$, $4$ и множитель $\tfrac12$ положительны, поэтому следить за знаками здесь не нужно.

2. 2

   Избавьтесь от знаменателей. Умножив обе части на $56$ (наименьшее общее кратное $7$ и $8$), получаем:

   $8|2x-3| = 7|x+3|$

   Дробей больше нет, вне модулей остались только целые числа.

3. 3

   Возведите обе части в квадрат — это безопасно. Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат здесь обратимо и посторонних корней не добавляет:

   $64(2x-3)^2 = 49(x+3)^2$

4. 4

   Раскройте скобки и соберите квадратное уравнение.

   $64\left(4x^2-12x+9\right) = 49\left(x^2+6x+9\right)$

   $256x^2 - 768x + 576 = 49x^2 + 294x + 441$

   $207x^2 - 1062x + 135 = 0 \quad \xrightarrow{\ \div 9\ } \quad 23x^2 - 118x + 15 = 0$

5. 5

   Решите квадратное уравнение. При $a = 23$, $b = -118$, $c = 15$:

   $\Delta = 118^2 - 4(23)(15) = 13924 - 1380 = 12544 = 112^2$

   $x = \frac{118 \pm 112}{46} \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{230}{46} = 5 \quad \text{или} \quad x = \frac{6}{46} = \frac{3}{23}$

   Дискриминант оказался полным квадратом — верный признак того, что задача составлена под рациональные ответы.

6. 6

   Проверьте оба корня в исходном уравнении. При $x = 5$: $\left|\tfrac{7}{7}\right| = 1$ и $\tfrac12\left|\tfrac{8}{4}\right| = 1$. При $x = \tfrac{3}{23}$: $\left|\tfrac{-63/23}{7}\right| = \tfrac{9}{23}$ и $\tfrac12\left|\tfrac{72/23}{4}\right| = \tfrac{9}{23}$. Оба равенства выполняются точно, поэтому множество решений — $\left\{5,\ \tfrac{3}{23}\right\}$.