Найдите решения уравнения 4x = 3x² − 7x + 9, ответ дайте с точностью до 3 значащих цифр.

Step-by-step solution

1. 1

   Переносим всё в ту часть, где квадрат положителен. Вычтем $4x$ из обеих частей, чтобы уравнение приняло вид «$=0$» с положительным старшим коэффициентом:

   $0=3x^{2}-7x-4x+9\quad\Longrightarrow\quad 3x^{2}-11x+9=0.$

2. 2

   Прежде чем браться за формулу, проверяем разложение на множители. Понадобились бы два целых числа с произведением $3\cdot 9=27$ и суммой $-11$; возможные пары — $(-1,-27)$ и $(-3,-9)$, их суммы равны $-28$ и $-12$. Ни одна не подходит, значит корни иррациональны и нужна формула корней квадратного уравнения.

3. 3

   Выписываем коэффициенты и считаем дискриминант. При $a=3$, $b=-11$, $c=9$

   $b^{2}-4ac=(-11)^{2}-4(3)(9)=121-108=13.$

   Так как $13>0$, действительных корней два и они различны; а поскольку $13$ не является полным квадратом, корни иррациональны — это согласуется с требованием округлить ответ.

4. 4

   Применяем формулу корней.

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{11\pm\sqrt{13}}{6}.$

5. 5

   Вычисляем и округляем до 3 значащих цифр. Так как $\sqrt{13}=3.605551\ldots$,

   $x=\frac{11+3.605551}{6}=2.434258\ldots\approx 2.43,\qquad x=\frac{11-3.605551}{6}=1.232408\ldots\approx 1.23.$

   Округляем только на этом, последнем шаге: раннее округление $\sqrt{13}$ способно сдвинуть третью значащую цифру.

6. 6

   Проверяем через точные корни. По теореме Виета $x_1+x_2=\tfrac{11}{3}\approx 3.6667$ и $x_1x_2=\tfrac{9}{3}=3$; найденные значения в сумме дают $3.66666$…, то есть $\tfrac{22}{6}$, и действительно $2.434258+1.232408=3.666666=\tfrac{11}{3}$, что отвечает $-b/a$. Их произведение равно $2.434258\times 1.232408=3.0000$, что отвечает $c/a=3$.