Решить уравнение −4,3289x² − 0,9671x + 40,328 = 0 относительно x.

Step-by-step solution

1. 1

   Выпишем коэффициенты и заранее оценим картину.

   $a=-4.3289,\qquad b=-0.9671,\qquad c=40.328$

   Так как $a<0$, а $c>0$, парабола с ветвями вниз пересекает ось по обе стороны от начала координат, поэтому следует ожидать один отрицательный и один положительный корень.

2. 2

   Вычислим дискриминант.

   $\Delta=(-0.9671)^2-4(-4.3289)(40.328)=0.935282+698.303517=699.238799$

   $\sqrt{\Delta}=26.443124$

3. 3

   Применим формулу корней квадратного уравнения.

   $x=\frac{0.9671\pm 26.443124}{2(-4.3289)}=\frac{0.9671\pm 26.443124}{-8.6578}$

   $x_1=\frac{0.9671+26.443124}{-8.6578}=-3.16596,\qquad x_2=\frac{0.9671-26.443124}{-8.6578}=2.94255$

4. 4

   Проверим сумму корней. Первая формула Виета утверждает, что $x_1+x_2=-\tfrac{b}{a}$:

   $-\frac{-0.9671}{-4.3289}=-0.223405,\qquad -3.16596+2.94255=-0.22341\;\checkmark$

5. 5

   Проверим произведение корней. Вторая формула Виета утверждает, что $x_1x_2=\tfrac{c}{a}$:

   $\frac{40.328}{-4.3289}=-9.3159925,\qquad (-3.16596)(2.94255)=-9.3159956$

   Значения уже совпадают до шести значащих цифр; расхождение в седьмой вызвано лишь округлением корней до пяти знаков, и если взять больше цифр ($-3.1659572$ и $2.9425517$), произведение уточняется до $-9.3159927$ $\checkmark$. Вместе обе проверки Виета фиксируют оба корня без повторного применения формулы.