Решить систему x1 − 3x3 = 8, 2x1 + 2x2 + 9x3 = 7, x2 + 5x3 = −2.

Step-by-step solution

1. 1

   Воспользуемся отсутствующими переменными вместо громоздкого исключения. В первом уравнении нет $x_2$, а в третьем нет $x_1$, так что каждое из них уже выражает одну переменную только через $x_3$. Подстановка здесь обходится куда дешевле, чем приведение матрицы к ступенчатому виду.

2. 2

   Выразим x1 и x2 из двух «разреженных» уравнений.

   $x_1=8+3x_3,\qquad x_2=-2-5x_3.$

3. 3

   Подставим оба выражения в оставшееся уравнение.

   $2(8+3x_3)+2(-2-5x_3)+9x_3=7.$

4. 4

   Раскроем скобки и приведём подобные.

   $16+6x_3-4-10x_3+9x_3=7\ \Longrightarrow\ 12+5x_3=7\ \Longrightarrow\ x_3=-1.$

5. 5

   Обратной подстановкой найдём две другие неизвестные.

   $x_1=8+3(-1)=5,\qquad x_2=-2-5(-1)=3.$

6. 6

   Проверим все три уравнения. $5-3(-1)=5+3=8$ ✓; $2(5)+2(3)+9(-1)=10+6-9=7$ ✓; $3+5(-1)=-2$ ✓. Определитель матрицы коэффициентов равен $-5\neq 0$, поэтому $(5,3,-1)$ — единственное решение.