Разложите x² - 2ax + x + a² - a - 2 на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Соберём слагаемые по степеням $x$.

   $x^2+(1-2a)x+\left(a^2-a-2\right)$

   Получен квадратный трёхчлен по $x$, коэффициенты которого зависят от $a$ — значит, разложение должно быть в виде произведения двух скобок, линейных по $x$.

2. 2

   Заметим полный квадрат внутри выражения. Слагаемые $x^2$, $-2ax$ и $a^2$ составляют $(x-a)^2$. Если их вынести, останется

   $x^2-2ax+a^2+x-a-2=(x-a)^2+(x-a)-2$

   Поскольку остаток $+x-a$ — это тоже $(x-a)$. Теперь все $x$ и $a$ входят только в комбинацию $x-a$.

3. 3

   Введём замену $u=x-a$ и разложим обычный квадратный трёхчлен.

   $u^2+u-2=(u-1)(u+2)$

   Так как $(-1)(2)=-2$, а $-1+2=1$. После подстановки параметр $a$ исчезает.

4. 4

   Вернёмся к исходным переменным, подставив $u=x-a$.

   $(x-a-1)(x-a+2)$

5. 5

   Проверим двумя способами. Через коэффициенты: $a^2-a-2=(a-2)(a+1)$, а суммы констант в скобках $-(a+1)$ и $2-a$ дают $1-2a$ — совпадает с коэффициентом при $x$. Проверим численно при $x=1$, $a=2$: исходное выражение $1-4+1+4-2-2=-2$, а $(1-2-1)(1-2+2)=(-2)(1)=-2$ — всё верно.