Найдите действительное значение x, при котором x⁷ + x⁵ + x³ + x = 4,66.

Step-by-step solution

1. 1

   Показываем, что действительный корень ровно один. Положим $f(x) = x^7 + x^5 + x^3 + x$. Её производная $f'(x) = 7x^6 + 5x^4 + 3x^2 + 1 \ge 1 > 0$ при любом действительном $x$, значит $f$ строго возрастает на всей $\mathbb{R}$. Строго возрастающая непрерывная функция принимает каждое значение не более одного раза, а поскольку $f \to \pm\infty$, то ровно один раз. Чтобы убедиться в единственности ответа, раскладывать многочлен не нужно.

2. 2

   Отделяем корень.

   $f(1) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4, \qquad f(1.1) = 1.948717 + 1.610510 + 1.331 + 1.1 = 5.990227$

   Так как $4 < 4.66 < 5.990227$, корень лежит на промежутке $(1,\ 1.1)$.

3. 3

   Сужаем промежуток.

   $f(1.03) = 4.511875, \qquad f(1.04) = 4.697449$

   Искомое значение $4.66$ лежит между ними, поэтому корень находится в $(1.03,\ 1.04)$ — и ближе к $1.04$, ведь $4.66$ ближе к $4.697$, чем к $4.512$.

4. 4

   Делим отрезок пополам до нужной точности. Многократное деление промежутка пополам (или метод Ньютона с выписанной выше производной) сходится к

   $x \approx 1.038016$

5. 5

   Проверяем и оцениваем требуемую точность. Значение $f(1.038016) = 4.660006$ с точностью до шести знаков. Для сравнения, $f(1.038) = 4.659705$, а $f(1.03805) = 4.660645$, так что ответ нужно доводить примерно до шести значащих цифр: вблизи корня функция меняется со скоростью около $18.8$ на единицу $x$, поэтому погрешность $10^{-6}$ в $x$ даёт погрешность $2\times10^{-5}$ в $f$.