Решить уравнение 0.2 = 4.6092x³ + 9.2964x² + 2.7507x + 0.0251 относительно x.

Step-by-step solution

1. 1

   Переносим всё в одну часть. Вычитая $0.2$, получаем

   $f(x)=4.6092x^{3}+9.2964x^{2}+2.7507x-0.1749=0$

   Нам нужен корень функции $f$. Все коэффициенты положительны, кроме свободного члена, поэтому по правилу знаков Декарта положительный действительный корень ровно один.

2. 2

   Отделяем корень отрезком, на концах которого знаки разные. Считаем аккуратно:

   $f(0)=-0.1749,\qquad f(0.05)=-0.0135,\qquad f(0.06)=+0.0246$

   Знак меняется между $0.05$ и $0.06$, значит корень лежит там. Каждая цифра этих пробных значений важна: ошибка при вычислении $f(0.06)$ увела бы отрезок не туда и дала бы уверенно неверный ответ.

3. 3

   Перепроверяем арифметику в решающей пробной точке. При $x=0.06$: $4.6092(0.000216)=0.000996$, $9.2964(0.0036)=0.033467$, $2.7507(0.06)=0.165042$. Складываем и вычитаем: $0.199505-0.1749=+0.024605$. Значение положительное, отрезок $[0.05,0.06]$ подтверждён.

4. 4

   Уточняем корень методом Ньютона. При $f'(x)=13.8276x^{2}+18.5928x+2.7507$ и $x_{0}=0.055$ последовательные приближения таковы: $0.0536168$, $0.0536118$, $0.0536118$ — сходимость до седьмого знака:

   $x\approx 0.0536118$

5. 5

   Проверяем корень и разбираемся с остальными. $f(0.0536118)=0.0000002$ ✓. Два других корня кубического уравнения, $x\approx-0.43195$ и $x\approx-1.63858$, отрицательны; если переменная означает физическую величину, их обычно отбрасывают, и остаётся ответ $x\approx 0.0536$.