Выполнить деление (a² − 3a − 18)/(2a² − 11a − 6) на (a² + a − 6)/(2a² − a − 1) и упростить.

Step-by-step solution

1. 1

   Разложим на множители оба приведённых квадратных трёхчлена. Для $a^{2}-3a-18$ ищем числа, произведение которых $-18$, а сумма $-3$; для $a^{2}+a-6$ — произведение $-6$, сумма $1$:

   $a^{2}-3a-18=(a-6)(a+3),\qquad a^{2}+a-6=(a+3)(a-2)$

2. 2

   Разложим на множители оба неприведённых квадратных трёхчлена методом группировки (методом $ac$). Для $2a^{2}-11a-6$: $ac=-12$, числа $-12$ и $1$ дают сумму $-11$; для $2a^{2}-a-1$: $ac=-2$, числа $-2$ и $1$ дают сумму $-1$:

   $2a^{2}-11a-6=(2a+1)(a-6),\qquad 2a^{2}-a-1=(2a+1)(a-1)$

3. 3

   Перепишем выражение, заменяя деление умножением на обратную дробь, и сразу подставим разложения на множители:

   $\frac{(a-6)(a+3)}{(2a+1)(a-6)}\cdot\frac{(2a+1)(a-1)}{(a+3)(a-2)}$

4. 4

   Выполним сокращение одинаковых множителей в числителях и знаменателях. В произведении дробей можно сокращать любые одинаковые множители сверху и снизу: $(a-6)$, $(2a+1)$ и $(a+3)$ встречаются по одному разу в числителе и знаменателе:

   $\frac{a-1}{a-2}$

   $\boxed{\dfrac{a-1}{a-2}}\qquad\left(a\neq 6,\ -\tfrac12,\ -3,\ 2\right)$

5. 5

   Проверим результат подстановкой значения. При $a=0$ исходное выражение даёт $\dfrac{-18}{-6}\div\dfrac{-6}{-1}=3\div 6=\tfrac12$, а полученная дробь — $\dfrac{-1}{-2}=\tfrac12$ — совпадает.

6. 6

   Запишем все значения, при которых выражение не определено. В окончательной дроби видно только $a=2$, но также $a=6$, $a=-\tfrac12$ и $a=-3$ были исключены исходными знаменателями и делителем — их обязательно указываем, даже если в сокращённой дроби они не видны.