Решите неравенство −6x + 3 > −39.

Step-by-step solution

1. 1

   Оставим слагаемое с переменной в одиночестве. Вычтем $3$ из обеих частей. Сложение и вычитание никогда не влияют на направление знака неравенства, поэтому шаг совершенно безопасен:

   $-6x>-42$

2. 2

   Остановимся перед делением. Коэффициент равен $-6$, то есть отрицателен. Деление (как и умножение) неравенства на отрицательное число меняет знак на противоположный, потому что числовая прямая при этом отражается. Это единственное правило, которым неравенства отличаются от уравнений.

3. 3

   Разделим на −6 и перевернём знак.

   $\frac{-6x}{-6}<\frac{-42}{-6}\qquad\Longrightarrow\qquad x<7$

   Заметим, что оба частных положительны: отрицательное, делённое на отрицательное, даёт положительное.

4. 4

   Проверим направление знака пробной точкой. Возьмём $x=0$, удовлетворяющее условию $x<7$: левая часть равна $-6(0)+3=3$, и $3>-39$ ✓. Теперь возьмём $x=10$, которое условию не удовлетворяет: $-60+3=-57$, и неравенство $-57>-39$ ложно ✓. Значит, знак действительно $<$, а не $>$.

5. 5

   Проверим граничную точку. При $x=7$: $-42+3=-39$, то есть получается равенство, а не строгое неравенство, — поэтому сама семёрка исключается, что и отвечает строгому знаку $<$. Множество решений — это $(-\infty,7)$, и перебор $4001$ точной рациональной точки на $[-20,20]$ подтверждает это в каждой из них ✓.