Найдите действительные решения уравнения (2x + 2)^(1/3) = −4.

Step-by-step solution

1. 1

   Читаем дробный показатель как кубический корень. По определению $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$, поэтому уравнение говорит: кубический корень из $2x+2$ равен $-4$. Отрицательное значение справа здесь вполне допустимо — у каждого действительного числа есть ровно один действительный кубический корень, в том числе у отрицательных чисел.

2. 2

   Возводим обе части в куб, чтобы избавиться от корня. Возведение в третью степень — операция, обратная извлечению кубического корня:

   $\left((2x+2)^{1/3}\right)^3 = (-4)^3 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 2 = -64$

   Обратите внимание: $(-4)^3 = -64$, знак сохраняется — в отличие от возведения в квадрат, которое знак уничтожает.

3. 3

   Решаем получившееся линейное уравнение.

   $2x = -64 - 2 = -66 \quad\Longrightarrow\quad x = -33$

4. 4

   Проверяем подстановкой в исходное уравнение. При $x = -33$ получаем $2(-33) + 2 = -64$, а $(-64)^{1/3} = -4$, что в точности совпадает с правой частью.

5. 5

   Почему проверка на посторонние корни не нужна. Возведение в куб — взаимно однозначная операция на множестве действительных чисел, поэтому она не добавляет и не теряет решений. Именно этим кубический корень отличается от квадратного: там возведение обеих частей в квадрат может породить лишние корни, которые приходится отбрасывать. Здесь же $x = -33$ — единственное действительное решение.