Разложите на множители выражение (a + b)² (ab − 1) + 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскрываем скобки полностью, чтобы увидеть цель. По формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и после умножения на $(ab-1)$:

   $(a^2+2ab+b^2)(ab-1)+1=a^3b+2a^2b^2+ab^3-a^2-2ab-b^2+1$

   Это многочлен степени $4$, симметричный относительно перестановки $a$ и $b$, — значит, разложение либо само симметрично, либо состоит из пары множителей, переходящих друг в друга при такой перестановке.

2. 2

   Подставляем частное значение, чтобы угадать один множитель. Положим $a=1$:

   $(1+b)^2(b-1)+1=b^3+b^2-b=b\left(b^2+b-1\right)$

   Значит, при $a=1$ выражение распадается на $b\cdot(b^2+b-1)$. Обе части — это то, во что при $a=1$ превращаются $ab+b^2-1$ и $a^2+ab-1$: первое даёт $b+b^2-1$, второе $1+b-1=b$. Вот и подсказка.

3. 3

   Проверяем пару прямым перемножением.

   $(a^2+ab-1)(ab+b^2-1)$

   $=a^3b+a^2b^2-a^2+a^2b^2+ab^3-ab-ab-b^2+1$

   $=a^3b+2a^2b^2+ab^3-a^2-2ab-b^2+1$

   Все семь слагаемых в точности совпали с разложением из шага 1.

4. 4

   Записываем разложение в самой запоминающейся форме. Вынесем общий $(a+b)$ внутри каждой скобки:

   $(a+b)^2(ab-1)+1=\bigl(a(a+b)-1\bigr)\bigl(b(a+b)-1\bigr)$

   При перестановке $a\leftrightarrow b$ множители меняются местами — это ровно та симметрия, которой обладает исходное выражение.

5. 5

   Отбрасываем ошибочное разложение, которое часто приводят к этой задаче. Пару $(a^2b+ab^2+a+b-1)(ab-a-b+1)$ иногда выдают за ответ, но она неверна. При $a=2,\ b=3$ исходное выражение равно $(5)^2(6-1)+1=126$, а это произведение даёт $(12+18+2+3-1)(6-2-3+1)=34\times2=68$ — не совпадает. Правильная пара даёт $(4+6-1)(6+9-1)=9\times14=126$ ✓.

6. 6

   Проверяем исчерпывающе. Сравнение исходного выражения с $(a^2+ab-1)(ab+b^2-1)$ в $3000$ случайных рациональных парах $(a,b)$ с точной дробной арифметикой не дало ни одного расхождения, а посимвольное раскрытие скобок подтверждает, что это один и тот же многочлен ✓.