Разделите f³ + 64 на f + 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем все коэффициенты, включая отсутствующие. В многочлене $f^3+64$ нет членов $f^2$ и $f$, поэтому последовательность коэффициентов: $1,\,0,\,0,\,64$. Пропуск нулей — самая частая ошибка при делении уголком.

2. 2

   Определим корень для деления уголком. Делитель $f+4$ обращается в ноль при $f=-4$, значит, в уголке используем $-4$ — знак противоположен тому, что в делителе.

3. 3

   Выполним алгоритм деления. Сносим $1$ вниз; $1\times(-4)=-4$, складываем $0+(-4)=-4$; $-4\times(-4)=16$, складываем $0+16=16$; $16\times(-4)=-64$, складываем $64+(-64)=0$. Получаем строку: $1,\ -4,\ 16,\ 0$.

4. 4

   Считаем частное и остаток. Последний элемент $0$ — это остаток, а первые три дают частное второй степени: $\frac{f^3+64}{f+4} = f^2-4f+16.$

5. 5

   Поясним, почему остаток равен нулю. $64=4^3$, значит, имеем сумму кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=f$, $b=4$. Получается $(f+4)(f^2-4f+16)$. По теореме Безу, $(-4)^3+64=0$, поэтому остаток гарантированно ноль.

6. 6

   Проверим умножением. $(f+4)(f^2-4f+16) = f^3-4f^2+16f+4f^2-16f+64 = f^3+64$. Все средние члены взаимно уничтожаются, как и должно быть.