Разложить на множители 6x² − 7ax + 2a² − 6x + 5a − 12.

Step-by-step solution

1. 1

   Считаем a второй переменной. Выражение квадратично по $x$ и квадратично по $a$, причём членов степени выше $2$ по этой паре нет, поэтому есть все основания ожидать разложения на два линейных по $x$ и $a$ множителя.

2. 2

   Раскладываем однородную часть второй степени.

   $6x^{2}-7ax+2a^{2}=(3x-2a)(2x-a)$

   (Проверяем перекрёстные слагаемые: $3x\cdot(-a)+(-2a)\cdot 2x=-3ax-4ax=-7ax$. ✓)

3. 3

   Вводим неизвестные константы. Полное разложение должно иметь вид

   $(3x-2a+p)(2x-a+q),\qquad pq=-12$

4. 4

   Приравниваем коэффициенты при x и при a. После раскрытия скобок коэффициент при $x$ равен $3q+2p$, а коэффициент при $a$ равен $-2q-p$. Нужные значения — $-6$ и $+5$:

   $3q+2p=-6,\qquad -2q-p=5$

5. 5

   Находим p и q. Из второго уравнения $p=-5-2q$; подставляя в первое: $3q-10-4q=-6$, откуда $-q=4$, то есть $q=-4$ и $p=3$. Условие $pq=3(-4)=-12$ выполнено. ✓

   $\boxed{(3x-2a+3)(2x-a-4)}$

6. 6

   Раскрываем скобки для окончательной проверки. $(3x-2a+3)(2x-a-4)=6x^2-3ax-12x-4ax+2a^2+8a+6x-3a-12=6x^2-7ax+2a^2-6x+5a-12$. ✓