Найти рациональное число k, при котором −√12/2 − √27/9 + √75/15 + √108 = k√3.

Step-by-step solution

1. 1

   Приводим каждый радикал к кратному √3. Каждое подкоренное выражение — это $3$, умноженное на полный квадрат, поэтому все четыре слагаемых подобны; именно поэтому сумму и удаётся записать в виде $k\sqrt3$:

   $\sqrt{12}=2\sqrt3,\quad \sqrt{27}=3\sqrt3,\quad \sqrt{75}=5\sqrt3,\quad \sqrt{108}=6\sqrt3$

2. 2

   Подставляем полученное в выражение.

   $-\frac{2\sqrt3}{2}-\frac{3\sqrt3}{9}+\frac{5\sqrt3}{15}+6\sqrt3$

3. 3

   Упрощаем каждый коэффициент.

   $-\sqrt3-\frac{\sqrt3}{3}+\frac{\sqrt3}{3}+6\sqrt3$

   Два средних слагаемых противоположны друг другу и взаимно уничтожаются — это заложено в условии и лишний раз напоминает: сначала упрощаем, и только потом ищем общий знаменатель.

4. 4

   Собираем уцелевшие слагаемые.

   $(-1+6)\sqrt3=5\sqrt3$

5. 5

   Считываем значение k.

   $\boxed{k=5}$

6. 6

   Проверяем численно. При $\sqrt3\approx 1.7320508$: $-\tfrac{3.4641}{2}=-1.7321$, $-\tfrac{5.1962}{9}=-0.5774$, $+\tfrac{8.6603}{15}=+0.5774$, $+10.3923$. Сумма равна $8.6603=5\sqrt3$ ✓.