Упростить квадратный корень из (20x²y²)/z⁵.

Step-by-step solution

1. 1

   Разложим каждый множитель на полный квадрат и остаток.

   $20=4\cdot 5,\qquad z^5=z^4\cdot z$

   тогда подкоренное выражение принимает вид

   $\frac{4\cdot 5\cdot x^2y^2}{z^4\cdot z}$

2. 2

   Извлечём корни из полных квадратов, не забывая про модули. Здесь $\sqrt{u^2}=|u|$, а не $u$:

   $\sqrt4=2,\quad\sqrt{x^2}=|x|,\quad\sqrt{y^2}=|y|,\quad\sqrt{z^4}=z^2$

   У $z^2$ модуль не нужен: эта величина и так неотрицательна. Промежуточный результат:

   $\frac{2|x||y|\sqrt5}{z^2\sqrt z}$

3. 3

   Отметим область определения. Исходное выражение требует $z>0$ (под квадратным корнем в знаменателе стоит нечётная степень $z$) — именно поэтому у самого $z$ модуль не появляется.

4. 4

   Избавимся от иррациональности в знаменателе. Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt z$:

   $\frac{2|x||y|\sqrt5}{z^2\sqrt z}\cdot\frac{\sqrt z}{\sqrt z}=\frac{2|xy|\sqrt{5z}}{z^3}$

   поскольку $\sqrt5\cdot\sqrt z=\sqrt{5z}$ и $z^2\cdot z=z^3$.

5. 5

   Проверим численно. Возьмём $x=2$, $y=3$, $z=4$: подкоренное выражение равно $\tfrac{20\cdot 4\cdot 9}{1024}=0.703125$, а его корень — $0.83853$. Упрощённая форма даёт $\tfrac{2\cdot 6\sqrt{20}}{64}=\tfrac{12\cdot 4.47214}{64}=0.83853$ $\checkmark$. Если все переменные считать положительными, ответ можно записать как $\tfrac{2xy\sqrt{5z}}{z^3}$.