Решить уравнение (3x − 2)(3x + 2) − 9(x − 1)x = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскрываем первое произведение по формуле разности квадратов. Пара $(3x-2)(3x+2)$ имеет вид $(A-B)(A+B)$:

   $(3x-2)(3x+2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4$

   Перекрёстные слагаемые $+6x$ и $-6x$ взаимно уничтожаются, поэтому линейного члена отсюда не появляется.

2. 2

   Раскрываем второе произведение.

   $9(x-1)x = 9(x^2 - x) = 9x^2 - 9x$

   Множитель $9$ распределяем на оба слагаемых; умножить только на $x^2$ — типичная небрежность.

3. 3

   Вычитаем и наблюдаем, как исчезают квадратные члены.

   $9x^2 - 4 - (9x^2 - 9x) = 9x^2 - 4 - 9x^2 + 9x = 9x - 4$

   В обоих выражениях присутствует один и тот же $9x^2$, поэтому уравнение линейное, а не квадратное — потому у него и один корень, а не два.

4. 4

   Решаем получившееся линейное уравнение.

   $9x - 4 = 0 \ \Longrightarrow \ x = \frac{4}{9}$

5. 5

   Проверяем корень. При $x = \tfrac49$ первое произведение равно $\left(\tfrac{12}{9} - 2\right)\left(\tfrac{12}{9} + 2\right) = \left(-\tfrac23\right)\left(\tfrac{10}{3}\right) = -\tfrac{20}{9}$, а второе — $9\left(\tfrac49 - 1\right)\tfrac49 = 9 \cdot \left(-\tfrac59\right)\cdot\tfrac49 = -\tfrac{20}{9}$. Их разность равна $0 \ \checkmark$.