Решите неравенство −x² + 6x − 10 > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Делаем старший коэффициент положительным. Умножим на $-1$ и поменяем знак неравенства:

   $x^2-6x+10<0$

2. 2

   Проверяем наличие вещественных корней по дискриминанту. При $a=1$, $b=-6$, $c=10$:

   $\Delta=(-6)^2-4(1)(10)=36-40=-4<0$

   Отрицательный дискриминант означает, что парабола не пересекает ось $x$, а значит, выражение нигде не меняет знак.

3. 3

   Определяем этот единственный знак. Так как $a=1>0$, ветви параболы направлены вверх и вся она лежит выше оси. Выделение полного квадрата делает это явным:

   $x^2-6x+10=(x-3)^2+1\ge 1>0$

   Минимальное значение равно $1$ и достигается при $x=3$.

4. 4

   Делаем вывод. Выражение, которое всегда не меньше $1$, не может быть отрицательным, поэтому множество решений пусто:

   $x\in\varnothing$

5. 5

   Проверяем напрямую в исходной форме. $-x^2+6x-10=-\left[(x-3)^2+1\right]\le-1<0$ при любом вещественном $x$, то есть положительным это выражение не бывает никогда $\checkmark$. Контрольная точка — вершина $x=3$: $-9+18-10=-1$, и это наибольшее значение, которое вообще принимает левая часть.