Разложите (x² - 6x + 1)(x² + x + 1) + 12x² на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскроем скобки по членам. Перемножим каждый элемент первого множителя:

   $x^{2}\left(x^{2}+x+1\right)=x^{4}+x^{3}+x^{2},\quad -6x\left(x^{2}+x+1\right)=-6x^{3}-6x^{2}-6x,\quad 1\left(x^{2}+x+1\right)=x^{2}+x+1.$

   Складывая и приводя подобные, получаем $x^{4}-5x^{3}-4x^{2}-5x+1$.

2. 2

   Прибавим $12x^{2}$. Меняется только коэффициент при $x^{2}$:

   $x^{4}-5x^{3}-4x^{2}-5x+1+12x^{2}=x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+1.$

   Добавление $12x^{2}$ явно не случайно — именно оно превращает обычный многочлен четвёртой степени в разлагаемый.

3. 3

   Заметим палиндромность коэффициентов. Коэффициенты: $1,-5,8,-5,1$ — одинаковы слева направо и справа налево. Такой обратимый (палиндромный) многочлен всегда разлагается (если разлагается вообще) в виде

   $\left(x^{2}+ax+1\right)\left(x^{2}+bx+1\right)=x^{4}+(a+b)x^{3}+(ab+2)x^{2}+(a+b)x+1,$

   у которого коэффициенты тоже автоматически палиндромные. Это позволяет не перебирать вслепую все возможные разложения.

4. 4

   Сравним коэффициенты и решим систему. Сопоставим с $1,-5,8,-5,1$:

   $a+b=-5,\qquad ab+2=8\ \Rightarrow\ ab=6.$

   Числа с суммой $-5$ и произведением $6$ — это $a=-2$ и $b=-3$, значит

   $x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+1=\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}-3x+1\right).$

5. 5

   Разложим оставшийся квадратный множитель и завершим. Первый множитель — полный квадрат: $x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$, а $x^{2}-3x+1$ имеет дискриминант $9-4=5$, то есть рационального разложения не имеет (корни $\frac{3\pm\sqrt5}{2}$ — золотое сечение). Полное разложение над рациональными:

   $\left(x^{2}-6x+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)+12x^{2}=(x-1)^{2}\left(x^{2}-3x+1\right).$

   Проверка на $x=2{,}1$: исходное выражение даёт $-1{,}0769$, разложенное — тоже $-1{,}0769$ ✓, совпадение до девятого знака подтверждается и для других значений.