Найдите обратную функцию для t(x) = 3√(x + 6) и укажите область определения обратной.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем область определения и область значений исходной функции. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому $x+6\ge0$, то есть область определения — $x\ge-6$; поскольку $\sqrt{\ }$ всегда неотрицательно, область значений — $t(x)\ge0$. Эти два факта станут соответственно областью значений и областью определения обратной функции — поэтому их важно зафиксировать в начале.

2. 2

   Пусть $y=t(x)$ и поменяем переменные местами. Запишем $y=3\sqrt{x+6}$ и поменяем $x$ и $y$:

   $x=3\sqrt{y+6}.$

   Перемена переменных отражает идею «обратить вход и выход»; после этого выражается $y$ — так и получается правило обратной функции.

3. 3

   Выразим радикал отдельно перед возведением в квадрат. Сначала делим обе части на $3$:

   $\frac{x}{3}=\sqrt{y+6}.$

   Если возводить в квадрат, пока $3$ стоит снаружи, получится $x^{2}=9(y+6)$ — ответ тот же, но привычка сначала изолировать радикал убережёт от ошибок, особенно если коэффициент не умножается, а прибавляется.

4. 4

   Возводим обе части в квадрат и выражаем $y$. Возводим обе части в квадрат:

   $\frac{x^{2}}{9}=y+6\;\Longrightarrow\;y=\frac{x^{2}}{9}-6.$

   Таким образом, правило обратной функции: $t^{-1}(x)=\dfrac{x^{2}}{9}-6$.

5. 5

   Добавим ограничение на область определения — это часть ответа. Парабола $\frac{x^{2}}{9}-6$ не является взаимно однозначной на всей $\mathbb{R}$; учитываем только ту ветвь, которая соответствует области значений $t$:

   $t^{-1}(x)=\frac{x^{2}}{9}-6,\qquad x\ge0.$

   Проверим обе композиции: $t\!\left(t^{-1}(4.2)\right)=4.2$ ✓ и $t^{-1}\!\left(t(3.3)\right)=3.3$ ✓. Без ограничения $t^{-1}(-3)=-5$ ошибочно бы утверждало $t(-5)=-3$, хотя на самом деле $t(-5)=3$.