Решите неравенство |x^2 − 5x + 6| + |x − 4| ≥ −x^2 + 5x + 7.

Step-by-step solution

1. 1

   Разложите подмодульный трёхчлен, чтобы найти все точки перелома. Так как $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, это выражение меняет знак в точках $x=2$ и $x=3$; второй модуль меняет знак в $x=4$. Три точки перелома делят прямую на четыре промежутка:

   $(-\infty,2),\quad [2,3),\quad [3,4),\quad [4,\infty)$

   На каждом из них оба модуля превращаются в обычные многочлены, а неравенство — в квадратное.

2. 2

   Случай $x<2$: первое выражение положительно, второе отрицательно. Здесь $(x-2)(x-3)>0$ и $x-4<0$, поэтому левая часть равна $x^2-5x+6-(x-4)=x^2-6x+10$. Неравенство принимает вид

   $x^2-6x+10\ge -x^2+5x+7\ \Longrightarrow\ 2x^2-11x+3\ge 0$

   Его корни $x=\dfrac{11\pm\sqrt{97}}{4}$, то есть примерно $0.2878$ и $5.212$. Парабола ветвями вверх неотрицательна вне корней; пересечение с $x<2$ оставляет

   $x\le\frac{11-\sqrt{97}}{4}$

3. 3

   Случай $2\le x<3$: подмодульный трёхчлен меняет знак. Теперь $(x-2)(x-3)\le 0$, поэтому $|x^2-5x+6|=-x^2+5x-6$, а $|x-4|=4-x$ по-прежнему. Неравенство принимает вид

   $-x^2+4x-2\ge -x^2+5x+7$

   Слагаемые $-x^2$ сокращаются, и остаётся линейное условие $-9\ge x$. Ни одна точка из $[2,3)$ не удовлетворяет $x\le -9$, значит этот случай пуст.

4. 4

   Случай $3\le x<4$: трёхчлен снова положителен. Здесь $|x^2-5x+6|=x^2-5x+6$ и $|x-4|=4-x$, что даёт то же неравенство, что и в случае 1: $2x^2-11x+3\ge 0$ с решением $x\le 0.2878$ или $x\ge 5.212$. Ни одна из этих областей не пересекается с $[3,4)$, поэтому и этот случай пуст.

5. 5

   Случай $x\ge 4$: оба модуля раскрываются со знаком плюс. Теперь $|x-4|=x-4$, поэтому

   $x^2-4x+2\ge -x^2+5x+7\ \Longrightarrow\ 2x^2-9x-5\ge 0$

   Это выражение красиво раскладывается: $2x^2-9x-5=(2x+1)(x-5)$ с корнями $x=-\tfrac12$ и $x=5$. Область вне корней, пересечённая с $x\ge 4$, даёт

   $x\ge 5$

6. 6

   Объедините уцелевшие случаи и проверьте.

   $\left(-\infty,\ \frac{11-\sqrt{97}}{4}\right]\cup[5,\infty)$

   Численно первый конец равен $0.28779$. Проверка: при $x=0$ левая часть равна $6+4=10$, правая — $7$, неравенство выполняется ✓; при $x=1$ получаем $2+3=5$ против $11$ — не выполняется ✓; при $x=5$ обе части равны $7$, значит конец входит в ответ ✓; при $x=6$ получаем $12+2=14$ против $1$ ✓.