Решите неравенство 2x² - 3x - 2 > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим, что неравенство приведено к стандартному виду. Все слагаемые перенесены в левую часть, справа стоит $0$, поэтому можно сразу переходить к разложению на множители. Старший коэффициент равен $2$, то есть разложение будет неполным квадратом, и это нужно учесть при подборе множителей.

2. 2

   Разложим неполный квадратный трёхчлен на множители. Подбираются такие целые числа, произведение которых равно $ac = 2\cdot(-2) = -4$, а сумма — $b=-3$: это $-4$ и $1$. Разбиваем средний коэффициент: $2x^2-4x+x-2 = 2x(x-2)+1(x-2)$, значит, $2x^2-3x-2 = (2x+1)(x-2).$ Проверим раскрытием скобок: $2x^2-4x+x-2=2x^2-3x-2$, что совпадает с исходным выражением.

3. 3

   Найдём критические точки. Приравниваем каждый множитель к нулю: $2x+1=0$ даёт $x=-\tfrac12$, а $x-2=0$ даёт $x=2$. Только в этих точках выражение может менять знак.

4. 4

   Проверим знак на каждом промежутке. Критические точки разбивают числовую прямую на промежутки $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$, $\left(-\tfrac12,2\right)$ и $(2,\infty)$. При $x=-1$: $(2(-1)+1)((-1)-2) = (-1)(-3) = 3>0$. При $x=0$: $(1)(-2) = -2<0$. При $x=3$: $(7)(1) = 7>0$. Получается чередование знаков $+,-,+$, что соответствует графику параболы, ветви которой направлены вверх.

5. 5

   Оставим промежутки, где произведение положительно. Так как неравенство строгое, сами корни не входят в ответ: $x<-\tfrac12 \quad \text{или} \quad x>2, \qquad \text{т.е. } \left(-\infty,-\tfrac12\right)\cup(2,\infty).$

6. 6

   Запомним правило для подобных неравенств. Если $a>0$ и есть два различных вещественных корня $r_1<r_2$, то решение $ax^2+bx+c>0$ всегда вне корней, а $<0$ — между ними. Знак на промежутках выше это подтверждает.