Если f(x) = 2 - x² и g(x) = x² + 4x - 60, какова область определения f - g? Ответ дайте в виде интервала.

Step-by-step solution

1. 1

   Вспомним правило для области определения комбинации функций. Для любых $f+g$, $f-g$ или $fg$ область определения совпадает с пересечением областей определения каждой функции:

   $\operatorname{dom}(f-g)=\operatorname{dom}(f)\cap\operatorname{dom}(g)$

   (Исключение — частное $f/g$: там дополнительно исключаются нули $g$.)

2. 2

   Найдём области определения каждой функции по отдельности. $f(x)=2-x^2$ — это многочлен: здесь используются только сложение и умножение вещественных чисел, нет деления на переменную и нет чётного корня. Значит,

   $\operatorname{dom}(f)=(-\infty,\infty)$

   Аналогично для $g(x)=x^2+4x-60$:

   $\operatorname{dom}(g)=(-\infty,\infty)$

3. 3

   Пересечём найденные области определения.

   $(-\infty,\infty)\cap(-\infty,\infty)=(-\infty,\infty)$

4. 4

   Проверим, явно вычислив разность. Выполним вычитание, раскрывая скобки и меняя знаки у каждого слагаемого $g$:

   $(f-g)(x)=\left(2-x^2\right)-\left(x^2+4x-60\right)=-2x^2-4x+62$

   Полученное выражение — снова многочлен, а значит, нет ни одной точки на числовой прямой, где функция была бы не определена.

5. 5

   Запишем ответ. Область определения $f-g$ — все действительные числа:

   $(-\infty,\infty)$

   Нули $g$ — решения $x^2+4x-60=0$, то есть $x=6$ и $x=-10$ — здесь не играют роли. Они были бы важны только для $f/g$.