Решить уравнение 1/(x(x + 2)) − 1/(x + 1)² = 1/12.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем скрытую связь между двумя знаменателями. Раскрывая скобки, получаем $x(x+2)=x^{2}+2x$, тогда как $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$. Они отличаются ровно на $1$, поэтому при

   $u=(x+1)^{2}$

   имеем $x(x+2)=u-1$, и уравнение сводится к задаче с одной переменной. Прямое приведение к общему знаменателю дало бы вместо этого уравнение четвёртой степени.

2. 2

   Переписываем уравнение через u.

   $\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}=\frac{1}{12}$

3. 3

   Складываем левую часть. Числители взаимно уничтожаются:

   $\frac{u-(u-1)}{u(u-1)}=\frac{1}{u^{2}-u}$

   поэтому уравнение принимает вид $\dfrac{1}{u^{2}-u}=\dfrac{1}{12}$, то есть

   $u^{2}-u-12=0$

4. 4

   Решаем квадратное уравнение относительно u.

   $(u-4)(u+3)=0\quad\Longrightarrow\quad u=4\ \text{или}\ u=-3$

5. 5

   Отбрасываем невозможное значение и возвращаемся к x. Поскольку $u=(x+1)^{2}$ — квадрат, значение $u=-3$ невозможно. Из $u=4$ получаем:

   $(x+1)^{2}=4\quad\Longrightarrow\quad x+1=\pm 2\quad\Longrightarrow\quad x=1\ \text{или}\ x=-3$

   $\boxed{x=1\ \text{или}\ x=-3}$

6. 6

   Проверяем оба корня в исходном уравнении и сверяемся с областью определения. Недопустимые значения — $x=0$, $x=-2$ и $x=-1$; ни один из корней в их число не попадает. При $x=1$: $\tfrac{1}{1\cdot 3}-\tfrac{1}{4}=\tfrac13-\tfrac14=\tfrac{1}{12}$ ✓. При $x=-3$: $\tfrac{1}{(-3)(-1)}-\tfrac{1}{4}=\tfrac13-\tfrac14=\tfrac{1}{12}$ ✓. Симметрия корней относительно $x=-1$ ожидаема: всё уравнение зависит от $x$ только через $(x+1)^{2}$.