Постройте график системы неравенств x + y ≤ 6 и x ≥ 2 и опишите область решений.

Step-by-step solution

1. 1

   Преобразуем первое неравенство, выразив $y$. Вычитая $x$, получаем

   $y\le 6-x.$

   Запись в виде «$y\le$» сразу показывает, какую часть относительно граничной прямой нужно заштриховать: область ниже этой прямой, а не выше.

2. 2

   Проводим две граничные прямые. Граница первого неравенства — это $y=6-x$, прямая с угловым коэффициентом $-1$, проходящая через точки $(0,6)$ и $(6,0)$. Граница второго — вертикальная прямая $x=2$. Оба неравенства нестрогие ($\le$, $\ge$), поэтому обе прямые проводятся сплошными и входят в решение.

3. 3

   Заштриховываем области и находим пересечение. Для $y\le 6-x$ заштриховывается всё на или ниже наклонной прямой; для $x\ge 2$ — всё на или правее $x=2$. Решением будет пересечение этих двух полуплоскостей.

4. 4

   Находим вершину области. Границы пересекаются при $x=2$ и $y=6-2=4$, то есть вершина области — точка $(2,4)$. От неё область уходит вниз и вправо — она не ограничена, так как ничто не мешает увеличивать $x$ или уменьшать $y$.

5. 5

   Записываем область решений и проверяем точки. Решение:

   $\{(x,y)\;:\;x\ge 2\ \text{и}\ y\le 6-x\}.$

   Проверим $(3,1)$: $3\ge2$ ✓ и $3+1=4\le6$ ✓, точка принадлежит области. Проверим $(1,1)$: $1\ge2$ — неверно, точка вне области. Проверим $(4,3)$: $4\ge2$ ✓, но $4+3=7>6$, точка вне области. Вершина $(2,4)$ удовлетворяет обоим неравенствам на границе и включена в решение.