Даны f(x) = 4x − 7, g(x) = 8x² − 2x − 3 и h(x) = 4x³ + 9x − 2. Найти (g∘f)(x), (h∘f)(2) и (f∘h)(x).

Step-by-step solution

1. 1

   Уточним обозначения. $(g \circ f)(x)$ означает $g(f(x))$: сначала действует правая функция. Если поменять порядок, получится другой результат — например, $(f \circ g)(x) = 32x^2 - 8x - 19$, что не совпадает с пунктом (a).

2. 2

   Пункт (a): подставим $f$ в $g$. Подставим вместо каждого $x$ в $g$ выражение $4x-7$:

   $g(f(x)) = 8(4x-7)^2 - 2(4x-7) - 3$

   Так как $(4x-7)^2 = 16x^2 - 56x + 49$:

   $= 128x^2 - 448x + 392 - 8x + 14 - 3 = 128x^2 - 456x + 403$

3. 3

   Пункт (b): сначала вычислим внутреннюю функцию. Для числовой композиции нет необходимости строить общую формулу:

   $f(2) = 4(2) - 7 = 1, \qquad h(1) = 4(1)^3 + 9(1) - 2 = 11$

   Значит, $(h \circ f)(2) = 11$. Если бы сначала раскрывали композицию символически, пришлось бы раскрывать $(4x-7)^3$, что нецелесообразно.

4. 4

   Пункт (c): подставим $h$ в $f$. Так как $f$ — линейная функция, композиция получается просто — умножаем и сдвигаем:

   $f(h(x)) = 4\left(4x^3 + 9x - 2\right) - 7 = 16x^3 + 36x - 8 - 7 = 16x^3 + 36x - 15$

5. 5

   Проверим ответы численно. При $x = 1{,}7$: $f(1{,}7) = -0{,}2$, $g(-0{,}2) = 0{,}32 + 0{,}4 - 3 = -2{,}28$, а по формуле $128(2{,}89) - 456(1{,}7) + 403 = -2{,}28$. Для (c) при $x = -2{,}3$: $h(-2{,}3) = -71{,}368$, $f(-71{,}368) = -292{,}472$, и $16(-12{,}167) + 36(-2{,}3) - 15 = -292{,}472$. Совпадает.

6. 6

   Заметим закономерность по степеням. Композиция многочленов степени $m$ и $n$ даёт степень $mn$: $g \circ f$ — это $2 \times 1 = 2$, а $f \circ h$ — $1 \times 3 = 3$, что соответствует полученным результатам.