Решить неравенство (4/3)(−x + 2) − (x + 4)/6 > x/2 + 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Выберем общий знаменатель до раскрытия скобок. В записи встречаются знаменатели $3$, $6$ и $2$, их наименьшее общее кратное равно $6$. Если сразу привести всё к знаменателю $6$, не придётся распределять дроби почленно — а именно там обычно теряются знаки:

   $\frac{4}{3}(-x+2)=\frac{8(-x+2)}{6}=\frac{-8x+16}{6}$

2. 2

   Сложим две дроби в левой части. У них уже общий знаменатель $6$:

   $\frac{-8x+16}{6}-\frac{x+4}{6}=\frac{-8x+16-x-4}{6}=\frac{-9x+12}{6}$

   Обратите внимание: минус распространяется и на $x$, и на $4$.

3. 3

   Умножим обе части на 6. Так как $6>0$, умножение не меняет направление неравенства:

   $-9x+12>6\left(\frac{x}{2}+2\right)=3x+12$

4. 4

   Соберём слагаемые с переменной. Вычтем из обеих частей $3x$ и $12$:

   $-9x-3x>12-12\quad\Longrightarrow\quad -12x>0$

5. 5

   Разделим на отрицательное число и перевернём знак. Деление обеих частей на $-12$ меняет знак неравенства на противоположный:

   $x<0$

   $\boxed{x<0\quad\text{т. е. }x\in(-\infty,0)}$

6. 6

   Проверим по одной точке с каждой стороны. При $x=-1$ левая часть равна $\tfrac{4}{3}(3)-\tfrac{3}{6}=4-0.5=3.5$, а правая — $-0.5+2=1.5$, так что $3.5>1.5$ выполняется. При $x=1$ левая часть равна $\tfrac{4}{3}(1)-\tfrac{5}{6}=\tfrac{8}{6}-\tfrac{5}{6}=0.5$, правая — $2.5$, и неравенство не выполняется. Обе проверки согласуются с $x<0$.