Решить систему уравнений 3x + 2y = 12 и x − y = 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем уравнение, которое проще всего преобразовать. Во втором уравнении коэффициент при $x$ равен $1$, поэтому выразить оттуда переменную можно без дробей:

   $x - y = 1 \quad \Longrightarrow \quad x = y + 1$

   Если взять первое уравнение, придётся сразу делить на $3$ и тащить трети через все дальнейшие вычисления.

2. 2

   Подставляем в первое уравнение. Замена $x$ на $y + 1$ превращает задачу с двумя переменными в задачу с одной:

   $3(y + 1) + 2y = 12$

3. 3

   Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

   $3y + 3 + 2y = 12$

   $5y + 3 = 12$

   $5y = 9 \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{9}{5}$

   Ответ получился нецелым, и это нормально: $5$ не делит $9$, а никаких обещаний о целых решениях в условии не было.

4. 4

   Обратной подстановкой находим x. Пользуемся равенством $x = y + 1$, приводя к общему знаменателю $5$:

   $x = \frac{9}{5} + 1 = \frac{9}{5} + \frac{5}{5} = \frac{14}{5}$

5. 5

   Проверяем в обоих исходных уравнениях. Решение обязано удовлетворять всей системе, а не только тому уравнению, с которым работали последним:

   $3\left(\frac{14}{5}\right) + 2\left(\frac{9}{5}\right) = \frac{42}{5} + \frac{18}{5} = \frac{60}{5} = 12 \ \checkmark$

   $\frac{14}{5} - \frac{9}{5} = \frac{5}{5} = 1 \ \checkmark$

   Значит, две прямые пересекаются в единственной точке $\left(\tfrac{14}{5}, \tfrac95\right) = (2.8,\, 1.8)$.