Разложите x² + x – 12 на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Начинаем подбор двух чисел. Для полного квадратного трёхчлена $x^{2}+bx+c$ разложение имеет вид $(x+m)(x+n)$, где $mn=c$, а $m+n=b$. Здесь $c=-12$, $b=1$ (у $x$ коэффициент $1$), значит, требуется найти два числа, чьё произведение равно $-12$, а сумма — $1$.

2. 2

   Используем знак произведения, чтобы сузить поиск. Произведение $-12$ — отрицательное, значит, числа должны быть разных знаков. Сумма $+1$ — небольшое положительное число, поэтому положительное число по модулю больше отрицательного ровно на $1$.

3. 3

   Перебираем пары множителей $-12$ с разными знаками и считаем суммы.

   $(1,-12)\to-11,\quad(12,-1)\to11,\quad(2,-6)\to-4,\quad(6,-2)\to4,\quad(3,-4)\to-1,\quad(4,-3)\to1\ \checkmark$

   Только $4$ и $-3$ дают нужную сумму, и $4\times(-3)=-12$ — условие выполнено.

4. 4

   Записываем разложение.

   $x^{2}+x-12=(x+4)(x-3)$

5. 5

   Проверяем раскрытием скобок — здесь проявляются ошибки в подборе. $(x+4)(x-3)=x^{2}-3x+4x-12=x^{2}+x-12$ — всё совпало. Средний коэффициент — это сумма подобранных чисел, свободный член — их произведение, так что если свободный член не совпал, пара выбрана неверно. Проверка верна для всех целых $x$ от $-40$ до $39$.

6. 6

   Находим корни. Выражение обращается в ноль при $x=-4$ и $x=3$, значит, это решения уравнения $x^{2}+x-12=0$. Дискриминант $1^{2}-4(1)(-12)=49=7^{2}$ — полный квадрат, что и гарантирует существование целых множителей.