Решить неравенство (x − 4)/3 < (2x − 1)/2.

Step-by-step solution

1. 1

   Умножим на общий знаменатель 6, а не станем умножать крест-накрест вслепую. Когда в каждой части по одной дроби, умножение крест-накрест выглядит соблазнительно, но оно безопасно, лишь когда известны знаки знаменателей. Здесь оба знаменателя — положительные постоянные $3$ и $2$, поэтому умножение обеих частей на $6$ законно и сохраняет знак $<$.

2. 2

   Избавимся от знаменателей.

   $6\cdot\frac{x-4}{3}<6\cdot\frac{2x-1}{2}\ \Longrightarrow\ 2(x-4)<3(2x-1)$

   Каждый числитель обязан остаться в скобках: запись $2x-4$ вместо $2(x-4)$ изменила бы свободный член.

3. 3

   Раскроем скобки в обеих частях.

   $2x-8<6x-3$

4. 4

   Соберём слагаемые так, чтобы коэффициент при $x$ остался положительным. Вычтем $2x$ из обеих частей, затем прибавим $3$:

   $-8<4x-3\ \Longrightarrow\ -5<4x$

   Если бы вы вместо этого вычли $6x$, получилось бы $-4x<5$, и тогда пришлось бы делить на $-4$ и переворачивать знак — ответ тот же, но риска больше.

5. 5

   Разделим на 4 и оставим ответ точным.

   $-\frac{5}{4}<x\ \Longrightarrow\ x>-\frac54,\qquad\text{т. е. }\left(-\tfrac54,\infty\right)$

   Оставьте $-\tfrac54$ как есть; запись $-1.25$ численно верна, но множество решений принято записывать точными дробями.

6. 6

   Проверим граничную точку. При $x=-\tfrac54$: слева $=\dfrac{-\frac54-4}{3}=\dfrac{-\frac{21}{4}}{3}=-\dfrac74$, справа $=\dfrac{2(-\frac54)-1}{2}=\dfrac{-\frac72}{2}=-\dfrac74$. Части равны, значит, $-\tfrac54$ — точная граница, и она справедливо исключена.