Разложите выражение (x + 1)^4 + (x + 3)^4 - 82 на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Выполним подстановку в середину, чтобы сделать выражение симметричным. Основания $x+1$ и $x+3$ симметричны относительно $x+2$, поэтому введём $y = x+2$. Тогда основания превращаются в $y-1$ и $y+1$. Если раскрывать скобки сразу по $x$, получится громоздкое уравнение четвёртой степени, а выбранная подстановка приведёт к сокращению нечётных степеней:

   $(y-1)^4+(y+1)^4-82$

2. 2

   Раскроем скобки и увидим, как сокращаются нечётные степени.

   $(y-1)^4=y^4-4y^3+6y^2-4y+1,\qquad (y+1)^4=y^4+4y^3+6y^2+4y+1$

   $(y-1)^4+(y+1)^4=2y^4+12y^2+2$

   Таким образом, выражение принимает вид $2y^4+12y^2+2-82=2y^4+12y^2-80=2\left(y^4+6y^2-40\right)$.

3. 3

   Рассмотрим скобку как квадратное уравнение относительно $t=y^2$. Обозначим $t=y^2$:

   $t^2+6t-40=(t+10)(t-4)$

   так как $10\cdot(-4)=-40$ и $10+(-4)=6$. Возвращаясь к $y$: $\left(y^2+10\right)\left(y^2-4\right)$.

4. 4

   Разложим разность квадратов и оставим неприводимый множитель. $y^2-4=(y-2)(y+2)$, а $y^2+10$ не раскладывается на множители над действительными числами, поэтому оставляем его:

   $2\left(y^2+10\right)(y-2)(y+2)$

5. 5

   Подставим обратно $y = x+2$. Тогда $y-2=x$, $y+2=x+4$, а $y^2+10=(x+2)^2+10=x^2+4x+14$:

   $2x(x+4)\left(x^2+4x+14\right)$

6. 6

   Проверим, подставляя несколько целых значений $x$. При $x=-8,\dots,8$ исходное выражение $(x+1)^4+(x+3)^4-82$ и $2x(x+4)(x^2+4x+14)$ дают одинаковые значения во всех $17$ случаях — этого более чем достаточно для подтверждения разложения многочлена четвёртой степени.