Докажите, что x = 1 — корень уравнения (2x² − 4x + 3)(x² − 2x + 2) = 1, и что других корней нет.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим подстановкой, что x = 1 — корень. Подставим $x=1$:

   $2(1)-4(1)+3=1,\qquad 1-2(1)+2=1$

   левая часть равна $1\cdot 1=1$ — верно. Таким образом, существование корня установлено; далее докажем единственность.

2. 2

   Завершим квадрат в первом множителе. Оценка каждого множителя снизу — ключевая идея, ведь произведение двух чисел, каждое из которых не меньше $1$, может быть равно $1$ только если оба равны $1$:

   $2x^{2}-4x+3=2\left(x^{2}-2x\right)+3=2\left[(x-1)^{2}-1\right]+3=2(x-1)^{2}+1$

3. 3

   Завершим квадрат во втором множителе.

   $x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1$

   Теперь оба множителя имеют вид «неотрицательный квадрат плюс $1$».

4. 4

   Оценим каждый множитель. Для любого действительного $x$ выполняется $(x-1)^{2}\ge 0$, значит

   $2x^{2}-4x+3\ge 1\qquad\text{и}\qquad x^{2}-2x+2\ge 1$

   причём равенство достигается только при $x=1$.

5. 5

   Сделаем вывод по произведению. Произведение двух чисел, каждое $\ge 1$, также $\ge 1$, а равно $1$ только если оба множителя равны $1$. Значит,

   $\left[2(x-1)^{2}+1\right]\left[(x-1)^{2}+1\right]=1\ \Longleftrightarrow\ (x-1)^{2}=0\ \Longleftrightarrow\ x=1$

   $\boxed{x=1\text{ — единственный действительный корень}}$

6. 6

   Проверим рассуждение через замену. Пусть $u=(x-1)^{2}\ge 0$, тогда уравнение примет вид $(2u+1)(u+1)=1$, то есть $2u^{2}+3u=0$, то есть $u(2u+3)=0$. Корни: $u=0$ и $u=-\tfrac32$; второй невозможен для квадрата, остаётся $u=0$, то есть $x=1$ — тот же вывод, что и выше.