Постройте график f(x) = x² + 1, укажите вершину, ось симметрии и область значений.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим родительскую функцию и преобразование. В каноническом виде $a(x-h)^2+k$ функция записывается как $1\cdot(x-0)^2+1$, то есть $a=1$, $h=0$, $k=1$. Это означает: парабола $y=x^2$ сдвинута вверх на 1. Растяжения или отражения нет, так как $a=1$.

2. 2

   Определим вершину, ось симметрии и направление ветвей. Вершина — точка $(h,k)=(0,1)$, ось симметрии — вертикальная прямая $x=h=0$ (ось $y$). Так как $a=1>0$, парабола направлена ветвями вверх, и вершина — минимум.

3. 3

   Составим небольшую симметричную таблицу значений.

   $f(-2)=5,\quad f(-1)=2,\quad f(0)=1,\quad f(1)=2,\quad f(2)=5$

   Повторяющиеся значения $y$ для парных $x$ ($\pm1\mapsto 2$, $\pm2\mapsto 5$) подтверждают, что ось симметрии действительно $x=0$.

4. 4

   Проверим точки пересечения с осями. Подставляя $x=0$, получаем $y$-перехват $(0,1)$. Для $x$-перехватов решим $x^2+1=0$, то есть $x^2=-1$ — вещественных решений нет, значит, график не пересекает ось $x$. Это соответствует минимальному значению $1>0$.

5. 5

   Опишем итоговый график. Отметим $(0,1)$, затем $(\pm1,2)$ и $(\pm2,5)$, соединим их плавной U-образной линией, направленной вверх, такой же ширины, как у $y=x^2$. Область определения — все действительные числа. Область значений: $y\ge 1$, то есть $[1,\infty)$.