Решить уравнение (1+x)³⁶ + (1+x)³⁵ + (1+x)³⁴ + (1+x)³³ + (1+x)³² + (1+x)³¹ + (1+x)³⁰ + (1+x)²⁹ + (1+x)²⁸ + (1+x)²⁷ = 70/3.

Step-by-step solution

1. 1

   Делаем замену, чтобы увидеть геометрическую структуру. Положим $y = 1 + x$. Десять слагаемых — это последовательные степени $y$, поэтому

   $y^{27} + y^{28} + \cdots + y^{36} = \frac{70}{3}$

   Запись через $y$ превращает громоздкую на вид сумму в геометрическую прогрессию и снимает всякое искушение раскрывать бином.

2. 2

   Выносим наименьшую степень и суммируем прогрессию.

   $y^{27}\left(1 + y + y^2 + \cdots + y^9\right) = y^{27}\cdot\frac{y^{10} - 1}{y - 1} = \frac{70}{3}, \qquad y \ne 1$

   В скобке стоит геометрическая прогрессия из $10$ членов со знаменателем $y$.

3. 3

   Локализуем корень, подставив y = 1. При $y = 1$ каждое слагаемое равно $1$, значит левая часть равна ровно $10$. Так как $\frac{70}{3} \approx 23.33 > 10$, а сумма строго возрастает при $y > 0$ (каждая степень $y^n$ возрастает), корень обязан удовлетворять $y > 1$, то есть $x > 0$. Строгая монотонность заодно гарантирует, что такой корень ровно один.

4. 4

   Отделяем корень численно. Вычислим $f(y) = \sum_{n=27}^{36} y^n$:

   $f(1.02) \approx 18.69, \qquad f(1.025) \approx 21.82, \qquad f(1.03) \approx 25.46$

   Значит, корень лежит между $1.025$ и $1.03$ — чуть ниже середины, поскольку $f$ растёт очень круто (производная вблизи $y = 1.03$ равна примерно $785$).

5. 5

   Уточняем и возвращаемся к исходной переменной. Деление отрезка пополам до полной точности даёт

   $y \approx 1.0271668 \ \Longrightarrow \ x = y - 1 \approx 0.0271668$

   Проверка: $\sum_{n=27}^{36}(1.0271668)^n = 23.333346$, что совпадает с $\frac{70}{3} = 23.333333$ до шести значащих цифр. Округление промежуточного $y$ до трёх знаков ($1.028$) уже подняло бы сумму примерно до $23.94$, так что лишние знаки надо сохранять.

6. 6

   Отметим, что решения в замкнутом виде нет. Уравнение сводится к многочлену $36$-й степени без рациональных корней и без круговой структуры, поэтому ответ — численный корень. Аргумент о монотонности работает только при $y>0$: при $y<0$ нечётные степени становятся отрицательными и сумма перестаёт возрастать. Просмотр по отрезку $[-3,3]$ находит вторую перемену знака — $f(-1.11)=14.59$ и $f(-1.15)=61.67$ зажимают $70/3$ — и деление пополам даёт $y\approx-1.1226359$, то есть $x\approx-2.1226359$. Значит, у уравнения два вещественных решения; остановившись на положительном, теряют половину ответа.