Разложить x² - 100x + 48² на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала вычислим квадрат константы. Если оставить $48^2$, структура выражения неочевидна:

   $48^2=2304\qquad\Longrightarrow\qquad x^2-100x+2304$

   (Для устного счета можно расписать как $(50-2)^2=2500-200+4=2304$.)

2. 2

   Не стоит предполагать, что это полный квадрат. Наличие $48^2$ наводит на мысль о $(x-48)^2$, однако при раскрытии скобок получится $x^2-96x+2304$ — средний коэффициент $-96x$, а не $-100x$. Проверим по дискриминанту: $100^2-4(2304)=10000-9216=784=28^2$, то есть дискриминант — полный квадрат, но не ноль, значит, имеются два различных целых корня.

3. 3

   Поставим задачу подбора. Требуется найти два числа, произведение которых $2304$, а сумма $-100$. Оба числа должны быть отрицательными, так как произведение положительно, а сумма отрицательна.

4. 4

   Используем дискриминант для ускорения поиска. Так как $\sqrt{784}=28$, корни равны

   $x=\frac{100\pm28}{2}=64\ \text{and}\ 36$

   Значит, искомые числа — $-64$ и $-36$. Проверим: $(-64)(-36)=2304$ ✓ и $-64+(-36)=-100$ ✓.

5. 5

   Запишем разложение на множители.

   $x^2-100x+48^2=(x-64)(x-36)$

6. 6

   Проверим раскрытием скобок. $(x-64)(x-36)=x^2-36x-64x+2304=x^2-100x+2304$ ✓. При подстановке целых значений от $-30$ до $119$ оба выражения совпадают ✓. Обратите внимание: $64+36=100$, $64\times36=2304=48^2$, то есть $48$ — среднее геометрическое $64$ и $36$, а $50$ — их среднее арифметическое.