Решить неравенство (1,5 + 0,1x)(800 − 20x) − 0,9(800 − 20x) ≥ 720.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем повторяющуюся скобку и выносим её. Оба слагаемых слева содержат $(800-20x)$, поэтому вынесем её за скобки, вместо того чтобы раскрывать произведение дважды:

   $\left(800-20x\right)\left[\left(1.5+0.1x\right)-0.9\right]=\left(800-20x\right)\left(0.6+0.1x\right).$

   По исходному смыслу задачи $(1.5+0.1x)-0.9$ — это прибыль с одной единицы товара, а $(800-20x)$ — число проданных единиц.

2. 2

   Раскрываем произведение.

   $\left(0.6+0.1x\right)\left(800-20x\right)=480-12x+80x-2x^{2}=-2x^{2}+68x+480.$

3. 3

   Переносим всё в одну часть.

   $-2x^{2}+68x+480\ge 720\ \Longrightarrow\ -2x^{2}+68x-240\ge 0.$

4. 4

   Делим на −2 и меняем знак неравенства. При делении неравенства на отрицательное число знак переворачивается — именно об этом здесь забывают чаще всего:

   $x^{2}-34x+120\le 0.$

5. 5

   Находим корни и читаем промежуток.

   $x=\frac{34\pm\sqrt{1156-480}}{2}=\frac{34\pm\sqrt{676}}{2}=\frac{34\pm 26}{2}=4\ \text{или}\ 30.$

   Парабола с ветвями вверх удовлетворяет $\le 0$ между своими корнями (включая их), поэтому

   $4\le x\le 30.$

6. 6

   Выборочно проверяем концы и внутреннюю точку. При $x=4$: $(1.9)(720)-0.9(720)=(1.0)(720)=720$ — ровно порог ✓. При $x=17$ (вершина параболы): $(3.2)(460)-0.9(460)=(2.3)(460)=1058\ge 720$ ✓. При $x=31$: $(4.6)(180)-0.9(180)=(3.7)(180)=666<720$ — точка справедливо не входит в ответ.