Упростите выражение E = (x + 2)³ + (x − 2)³ + x³ − 3x(x + 2)(x − 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Раскрываем оба куба по формуле сокращённого умножения. Применяем $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$ при $b = 2$:

   $(x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

   $(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

   Слагаемые с нечётными степенями сохраняют чередование знаков — именно поэтому следующий шаг всё и сворачивает.

2. 2

   Складываем кубы — слагаемые с чётными степенями исчезают.

   $(x+2)^3 + (x-2)^3 = 2x^3 + 24x$

   Слагаемые $\pm 6x^2$ взаимно уничтожаются, как и свободные члены $\pm 8$: они стоят на чётных и нечётных позициях с противоположными знаками.

3. 3

   Упрощаем произведение через разность квадратов. Сначала разбираемся со скобками:

   $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$

   отсюда

   $-3x(x+2)(x-2) = -3x(x^2 - 4) = -3x^3 + 12x$

   Именно при умножении $-3x$ на оба слагаемых (включая $-4$) чаще всего теряют знак.

4. 4

   Собираем всё вместе. Складываем три части:

   $E = (2x^3 + 24x) + x^3 + (-3x^3 + 12x)$

   Кубы: $2x^3 + x^3 - 3x^3 = 0$. Линейные слагаемые: $24x + 12x = 36x$. Ни $x^2$, ни свободного члена не остаётся.

5. 5

   Записываем и проверяем результат.

   $E = 36x$

   Числовая проверка при $x = 1$: $27 + (-1) + 1 - 3(3)(-1) = 27 - 1 + 1 + 9 = 36 = 36 \cdot 1$. При $x = 2$: $64 + 0 + 8 - 6(4)(0) = 72 = 36 \cdot 2$. Оба случая подтверждают линейный ответ.