Решите неравенство 3^x > 500001x.

Step-by-step solution

1. 1

   Сводим задачу к вопросу о знаке одной функции. Положим

   $f(x)=3^x-500001x$

   и будем искать, где $f(x)>0$. Это надёжнее, чем сравнивать два графика на глаз: у функции $f$ есть свойства, которые можно установить точно.

2. 2

   Показываем, что $f$ выпукла, а значит корней не больше двух.

   $f'(x)=3^x\ln 3-500001,\qquad f''(x)=3^x(\ln 3)^2>0$

   Строго выпуклая функция сначала убывает, затем возрастает и пересекает ноль самое большее дважды. Минимум достигается там, где $f'=0$:

   $3^x=\frac{500001}{\ln 3}\approx 455121\quad\Longrightarrow\quad x=\log_3(455121)\approx 11.86$

3. 3

   Левая часть числовой прямой разбирается сразу. При $x\le 0$ выражение $3^x$ положительно, а $500001x\le 0$, поэтому неравенство выполняется автоматически. При $x=0$ оно превращается в $1>0$ $\checkmark$. Значит первый корень лежит чуть правее $0$.

4. 4

   Находим малый корень. Вблизи нуля $3^x\approx 1$, поэтому пересечение близко к $x\approx\tfrac{1}{500001}$. Деление отрезка $\left[10^{-12},0.5\right]$ пополам даёт

   $x_1\approx 2.0000004\times 10^{-6}$

   причём слева от этой точки $f$ положительна, а справа отрицательна.

5. 5

   Большой корень отыскиваем, отделив его отрезком. $f(12)=531441-6000012<0$, а $f(16)=43046721-8000016>0$, значит второе пересечение лежит в $(12,16)$. Метод половинного деления даёт

   $x_2\approx 14.3704368$

   Проверка: $3^{14.3704368}\approx 7.1853\times 10^{6}$ и $500001\times 14.3704368\approx 7.1853\times 10^{6}$ — совпадение до шести значащих цифр $\checkmark$. (А вот значение вроде $14.546$ корнем не является: там $3^x\approx 8.714\times 10^6$ против $7.273\times 10^6$, то есть разрыв около $1.44\times 10^6$.)

6. 6

   Собираем множество решений. Неравенство $f>0$ выполняется вне обоих корней:

   $x<2.0000004\times 10^{-6}\quad\text{или}\quad x>14.3704368$

   Выборочно проверим середину: при $x=1$ имеем $3<500001$, то есть неравенство закономерно не выполняется $\checkmark$.