На координатной плоскости точка P имеет координаты (m, n), где m и n удовлетворяют равенству (m² + n² + 1)(m² + n² + 3) = 8. Найдите длину OP.

Step-by-step solution

1. 1

   Свяжем искомое с данным выражением. Расстояние от $P(m,n)$ до начала координат равно

   $OP=\sqrt{m^2+n^2}$

   Значит, вся задача сводится к нахождению одного числа $m^2+n^2$; отдельные значения $m$ и $n$ вообще не нужны.

2. 2

   Сделаем замену и спрячем две переменные. Положим

   $t=m^2+n^2$

   Поскольку $m$ и $n$ вещественны, каждый квадрат неотрицателен, и это даёт ограничение, которое нужно донести до конца:

   $t\ge 0$

3. 3

   Раскроем скобки и решим квадратное уравнение относительно $t$.

   $(t+1)(t+3)=8$

   $t^2+4t+3=8$

   $t^2+4t-5=0$

   $(t+5)(t-1)=0\ \Longrightarrow\ t=-5\ \text{или}\ t=1$

4. 4

   Отбросим корень, нарушающий ограничение. Сумма двух вещественных квадратов не может равняться $-5$, поэтому $t=-5$ отвергаем и

   $m^2+n^2=1$

   Вот почему заманчивый ответ $\sqrt5$ (или $1$) — ловушка: он сохраняет корень, запрещённый самой областью замены.

5. 5

   Вычислим $OP$ и проверим.

   $OP=\sqrt{1}=1$

   Проверка по условию: при $t=1$ получаем $(1+1)(1+3)=2\times 4=8$ $\checkmark$. Геометрически $P$ лежит в любой точке единичной окружности — например, $(1,0)$ или $\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right)$ — и каждая такая точка удалена от начала координат на $1$.