Упростите (x+1)³ - 2(x+1)²(x-1) - (x+1)(x-1)² + 2(x+1)³(x² - 9)/(x + 3).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала избавимся от дроби. $x^2-9$ — это разность квадратов:

   $x^2-9=(x-3)(x+3)$

   Тогда последний член принимает вид $\dfrac{2(x+1)^3(x-3)(x+3)}{x+3}=2(x+1)^3(x-3)$, что верно при $x\neq -3$. После этого знаменатель исчезает, и всё выражение становится многочленом.

2. 2

   Вынесем общий множитель $(x+1)$. Каждый из четырёх слагаемых содержит хотя бы одну скобку $x+1$:

   $(x+1)\Bigl[(x+1)^2-2(x+1)(x-1)-(x-1)^2+2(x+1)^2(x-3)\Bigr]$

   Вынесение этого множителя сразу уменьшает степень раскрываемого выражения.

3. 3

   Раскроем первые три слагаемых в скобках. Используем: $(x+1)^2=x^2+2x+1$, $(x+1)(x-1)=x^2-1$, $(x-1)^2=x^2-2x+1$:

   $\left(x^2+2x+1\right)-2\left(x^2-1\right)-\left(x^2-2x+1\right)=-2x^2+4x+2$

   ($x^2$: $1-2-1=-2$, $x$: $2+2=4$, константы: $1+2-1=2$.)

4. 4

   Раскроем четвёртое слагаемое.

   $2(x+1)^2(x-3)=2\left(x^2+2x+1\right)(x-3)=2\left(x^3-x^2-5x-3\right)=2x^3-2x^2-10x-6$

5. 5

   Сложим полученные части в скобках.

   $\left(-2x^2+4x+2\right)+\left(2x^3-2x^2-10x-6\right)=2x^3-4x^2-6x-4=2\left(x^3-2x^2-3x-2\right)$

6. 6

   Запишем окончательный вид и проверим результат.

   $2(x+1)\left(x^3-2x^2-3x-2\right)$

   Кубический многочлен не имеет рациональных корней ($\pm1,\pm2$ не подходят), значит, дальше не раскладывается над $\mathbb{Q}$. Проверка при $x=2.3$: исходное выражение и эта форма дают $-48.2658$. $\checkmark$