Решить уравнение x/(10 + x) = 0,98 относительно x.

Step-by-step solution

1. 1

   Разберёмся в структуре и заранее оценим порядок ответа. Слева стоит доля от целого: $x$ из $10+x$. Требование, чтобы эта доля равнялась $98\%$, означает, что фиксированные $10$ составляют лишь $2\%$ целого, поэтому всё целое должно быть около $500$, а $x$ — около $490$. Такая предварительная оценка делает дальнейшие выкладки самопроверяющимися.

2. 2

   Переведём десятичную дробь в обыкновенную. Точная арифметика здесь удобнее десятичной:

   $0.98=\frac{98}{100}=\frac{49}{50}$

   поэтому уравнение принимает вид $\dfrac{x}{10+x}=\dfrac{49}{50}$. Отметим также ограничение области определения $x\neq-10$.

3. 3

   Умножим крест-накрест.

   $50x=49(10+x)$

   Это законно, поскольку в решении $10+x\neq0$.

4. 4

   Раскроем скобки и соберём слагаемые с x.

   $50x=490+49x\qquad\Longrightarrow\qquad 50x-49x=490\qquad\Longrightarrow\qquad x=490$

   Коэффициенты почти уничтожают друг друга, оставляя $1\cdot x$, — поэтому в конце деление вообще не требуется.

5. 5

   Проверим подстановкой.

   $\frac{490}{10+490}=\frac{490}{500}=0.98\ \checkmark$

   что совпадает с оценкой примерно в $490$ из шага 1 ✓.

6. 6

   Отметим общую формулу. Для уравнения $\dfrac{x}{a+x}=p$ решение равно $x=\dfrac{ap}{1-p}$. Здесь $\dfrac{10(0.98)}{0.02}=\dfrac{9.8}{0.02}=490$ ✓. Именно множитель $1-p$ в знаменателе объясняет, почему ответ неограниченно растёт, когда требуемая доля приближается к $100\%$.