Найдите x: 1/x³ − 1/(5 × 10⁻⁵)³ = 3.1100685 × 10¹¹.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала вычисляем известную постоянную. Возводим в куб отдельно основание и степень десяти:

   $\left(5\times 10^{-5}\right)^3 = 5^3 \times 10^{-15} = 125\times 10^{-15} = 1.25\times 10^{-13}$

   Показатель умножается на $3$, а не складывается с $3$ — получается $10^{-15}$, а не $10^{-8}$.

2. 2

   Берём обратную величину. При обращении переворачивается мантисса и меняется знак показателя:

   $\frac{1}{1.25\times 10^{-13}} = 0.8 \times 10^{13} = 8\times 10^{12}$

3. 3

   Выделяем 1/x³, прибавив эту постоянную к обеим частям.

   $\frac{1}{x^3} = 8\times 10^{12} + 3.1100685\times 10^{11}$

   Чтобы сложить, приведём оба слагаемых к одной степени десяти:

   $= 80\times 10^{11} + 3.1100685\times 10^{11} = 83.1100685\times 10^{11} = 8.31100685\times 10^{12}$

   Сложение мантисс без предварительного выравнивания показателей — типичная ошибка в этом месте.

4. 4

   Ещё раз обращаем, чтобы получить x³.

   $x^3 = \frac{1}{8.31100685\times 10^{12}} = 1.20322\times 10^{-13}$

5. 5

   Извлекаем кубический корень. Отделяем мантиссу от степени десяти, показатель которой кратен $3$:

   $x = \sqrt[3]{120.322\times 10^{-15}} = \sqrt[3]{120.322}\times 10^{-5} = 4.9368\times 10^{-5}$

   Именно переписывание $10^{-13}$ как $120.322\times10^{-15}$ делает кубический корень из степени десяти точным.

6. 6

   Проверяем подстановкой. При $x = 4.9368\times 10^{-5}$:

   $\frac{1}{x^3} = 8.3112\times 10^{12}, \qquad 8.3112\times 10^{12} - 8\times 10^{12} = 3.1119\times 10^{11} \ \checkmark$

   Обратите внимание, насколько $x$ близко к $5\times 10^{-5}$: правая часть составляет всего около $3.9\%$ от $8\times10^{12}$, а поскольку $x$ меняется как обратный кубический корень, это сдвигает $x$ лишь примерно на $1.3\%$.