Разделите 2x³ + 2x² + 2x − 1 на x − 1 по схеме Горнера.

Step-by-step solution

1. 1

   Считываем $c$ из делителя. Схема Горнера работает с делителем вида $x-c$. Здесь $x-1$, значит $c=+1$ — знак меняется, и взять $c=-1$ это самая частая ошибка.

2. 2

   Выписываем коэффициенты, не забывая нули. В нашем многочлене присутствуют все степени, поэтому нулевые заполнители не нужны:

   $2,\ 2,\ 2,\ -1$

3. 3

   Прогоняем цикл «снести — умножить — сложить» при $c=1$. Сносим $2$; умножаем на $1$ и прибавляем к следующему коэффициенту, и так далее:

   $\begin{array}{r|rrrr}1 & 2 & 2 & 2 & -1\\ & & 2 & 4 & 6\\ \hline & 2 & 4 & 6 & 5\end{array}$

4. 4

   Читаем ответ из нижней строки. Последнее число — остаток; остальные — коэффициенты частного, степень которого на единицу меньше степени делимого:

   $\text{частное }=2x^{2}+4x+6,\qquad \text{остаток }=5$

5. 5

   Подтверждаем остаток теоремой Безу. При делении на $x-1$ остаток должен равняться $f(1)$:

   $f(1)=2+2+2-1=5$

   что совпадает с правым нижним числом ✓ — независимая проверка ценой одной строки.

6. 6

   Проверяем тождество раскрытием скобок.

   $(x-1)(2x^{2}+4x+6)+5=2x^{3}+4x^{2}+6x-2x^{2}-4x-6+5=2x^{3}+2x^{2}+2x-1$

   в точности исходный многочлен ✓.