Пусть A — матрица m×n. Докажите, что существует матрица B размера n×m такая, что ABA = A.

Step-by-step solution

1. 1

   Переход к канонической форме. Пусть $r=\operatorname{rank}(A)$. Любая матрица эквивалентна своей канонической форме по рангу: существуют обратимые $P$ ($m\times m$) и $Q$ ($n\times n$), такие что

   $PAQ=D:=\begin{pmatrix}I_{r}&0\\ 0&0\end{pmatrix}_{m\times n}$

   $P$ и $Q$ фиксируют элементарные преобразования строк и столбцов, приводящие $A$ к блочному виду.

2. 2

   Решение задачи для $D$. Определим матрицу размера $n\times m$:

   $D^{-}:=\begin{pmatrix}I_{r}&0\\ 0&0\end{pmatrix}_{n\times m}$

   — тот же блочный вид, но с переставленными размерами, что обеспечивает согласованность размерностей при умножении. Блочное умножение даёт $DD^{-}=\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}_{m\times m}$, а значит

   $DD^{-}D=D$

   так как умножение $D$ слева на этот идемпотентный проектор оставляет ненулевой блок неизменным.

3. 3

   Переход к исходной матрице $A$. Из $PAQ=D$ получаем $A=P^{-1}DQ^{-1}$. Определим

   $B:=QD^{-}P$

   — это произведение $(n\times n)(n\times m)(m\times m)=n\times m$, что соответствует требуемой размерности. Важно, что $B=QD^{-}P$, а не $QDP$ — именно транспонированная блочная матрица согласует размеры.

4. 4

   Проверка равенства $ABA=A$ подстановкой. Подставляя выражения и сокращая обратные матрицы:

   $ABA=\left(P^{-1}DQ^{-1}\right)\left(QD^{-}P\right)\left(P^{-1}DQ^{-1}\right)=P^{-1}D\,D^{-}D\,Q^{-1}=P^{-1}DQ^{-1}=A$

   используя $Q^{-1}Q=I_{n}$, $PP^{-1}=I_{m}$ и тождество $DD^{-}D=D$ из предыдущего шага. Таким образом, требуемое равенство доказано.

5. 5

   Замечание о содержании утверждения. $B$ называется обобщённой обратной (или $\\{1\\}$-обратной) к $A$. Она вообще говоря не единственна — любая $B$ вида $QD^{-}P$ с иными $P,Q$ подходит, а при $r<\min(m,n)$ свободные блоки дают бесконечно много вариантов. Совпадает с $A^{-1}$ только если $A$ квадратная и обратима ($r=m=n$).

6. 6

   Числовая проверка. Псевдообратная Мура—Пенроуза — частный пример такой $B$. Для случайных матриц форм $4\times 3$ (ранг 2), $3\times 5$ (ранг 3) и $5\times 5$ (ранг 1) вычисления $A\,A^{+}A-A$ дают элементы порядка $10^{-15}$ или меньше — машинный ноль, как и предсказывает теорема.