Разложите 2x³ - x² - 5x - 2 на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Пробуем группировку и убеждаемся, что она не срабатывает. Группируем: $\left(2x^3-x^2\right)+(-5x-2)=x^2(2x-1)-(5x+2)$. Полученные скобки $(2x-1)$ и $(5x+2)$ различны, значит, способ группировки здесь не подходит — это сигнал перейти к теореме о рациональных корнях.

2. 2

   Записываем возможные рациональные корни. Рациональный корень $\tfrac{p}{q}$ должен удовлетворять $p\mid2$ (свободный член) и $q\mid2$ (старший коэффициент), поэтому возможные варианты:

   $\pm1,\ \pm2,\ \pm\tfrac12$

   Появление дробных вариантов связано с тем, что старший коэффициент равен $2$, а не $1$ — этот шаг часто пропускают.

3. 3

   Проверяем кандидатов.

   $f(2)=2(8)-4-10-2=16-16=0\ \checkmark$

   Значит, $x=2$ — корень, а $(x-2)$ — множитель.

4. 4

   Делим на (x - 2) уголком (синтетическое деление). Используем корень $2$ и коэффициенты $2,\ -1,\ -5,\ -2$:

   $2\ \to\ -1+4=3\ \to\ -5+6=1\ \to\ -2+2=0$

   Остаток ноль ✓, а частное — $2x^2+3x+1$:

   $2x^3-x^2-5x-2=(x-2)\left(2x^2+3x+1\right)$

5. 5

   Разлагаем квадратный многочлен методом произведения и суммы (метод группировки). Требуются два числа с произведением $2\times1=2$ и суммой $3$: это $1$ и $2$. Разбиваем и группируем:

   $2x^2+2x+x+1=2x(x+1)+1(x+1)=(2x+1)(x+1)$

6. 6

   Записываем итоговое разложение и корни.

   $2x^3-x^2-5x-2=(x-2)(2x+1)(x+1)$

   Корни: $x=2$, $x=-\tfrac12$ и $x=-1$ — обратим внимание, что $-\tfrac12$ входит в список дробных кандидатов, поэтому их обязательно учитывать.

7. 7

   Проверяем результат. Подстановка целых значений от $-30$ до $29$ показывает совпадение исходного выражения и произведения трёх множителей ✓. Проверка по Виету: сумма корней $2-\tfrac12-1=\tfrac12=-b/a$ ✓, произведение $2\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot(-1)=1=-d/a$ ✓.