Разложите и упростите выражение (x + 6)^{-1/5} – (x + 6)^{-6/5}.

Step-by-step solution

1. 1

   Сравним степени на числовой прямой. Степени равны $-\tfrac{1}{5}$ и $-\tfrac{6}{5}$, причём $-\tfrac{6}{5}<-\tfrac{1}{5}$, то есть наименьшая — $-\tfrac{6}{5}$. Как и с положительными степенями, выносится основание в самой маленькой (здесь — самой отрицательной) степени.

2. 2

   Разделим каждый член на этот общий множитель. В первом слагаемом получаем $(x+6)^{-1/5-(-6/5)}=(x+6)^{5/5}=x+6$, во втором — $(x+6)^0=1$. Значит, $(x+6)^{-1/5}-(x+6)^{-6/5}=(x+6)^{-6/5}\bigl[(x+6)-1\bigr].$

3. 3

   Упростим выражение в скобках. $(x+6)-1=x+5.$

4. 4

   Перепишем с положительной степенью. Так как $(x+6)^{-6/5}=\dfrac{1}{(x+6)^{6/5}}$, то $(x+6)^{-1/5}-(x+6)^{-6/5}=\frac{x+5}{(x+6)^{6/5}}.$

5. 5

   Укажем область определения и проверим значение. Необходимо $x+6>0$, то есть $x>-6$, чтобы дробные степени были определены и отличны от нуля. При $x=-5$ исходное выражение равно $1^{-1/5}-1^{-6/5}=0$, а ответ даёт $\frac{0}{1}=0$, значит, оба совпадают.